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Conrado nasceu de família de nobres, em Wajngarten, por volta do ano 900.
Recebeu a formação espiritual, como frater adscriptus, no mosteiro de São Galo, onde foi confiado à escola da catedral de Constança.
Em 934, na presença de São Ulric, bispo de Augusta, com quem mantinha relações amistosas, foi eleito bispo de Constança, onde se distinguiu por construir e equipar igrejas e hospitais. Embora não tenha exercido atividade política, parece ter sido muito apreciado por Otão I, com quem provavelmente se encontrou durante a viagem a Roma para a coroação imperial (964).
De acordo com uma fonte desconhecida, ele teria estado três vezes em Jerusalém.
Morreu em 26 de novembro de 975 e foi sepultado na basílica de São Maurício, que ele mesmo havia mandado construir.
O bispo Ulric de Costança (1111-1127) implorou ao Papa Calixto II que canonizasse Conrado: o pontífice respondeu para enviar uma “Vida” do santo a Roma. A que havia sido escrita por Udalscalco foi enviada em nome do próprio Ulric. Calisto II, em carta datada de 28 de março de 1123, dirigida ao bispo, clero e povo de Constança, declarou Conrado santo: no dia 26 de novembro seguinte ocorreu a transferência solene dos restos mortais.
No ano de 1526, na época da Reforma, os restos sagrados foram lançados no lago de Constança; apenas sua cabeça foi salva.
Conrado é um dos patronos de Constança e Freiburg em Breisgau: seu culto é difundido na Suíça germanófona, no mosteiro de São Galo e em Einsiedeln, na Suábia e em Ottobeuren.
Na iconografia, o santo bispo é muitas vezes representado com um cálice no qual caiu uma aranha: a razão se origina do episódio segundo o qual Conrado teria engolido sem hesitação e sem danos uma aranha venenosa caída no cálice durante a missa.